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Consideremos una barra delgada de longitud L
en posición horizontal, empotrada por un extremo y sometida a una fuera
vertical F en el extremo libre. Determinaremos la forma de la barra
y las coordenadas (xf, yf) del extremo
libre para grandes flexiones de la barra.
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Supongamos
que:
- La
barra tiene una longitud L mucho mayor que las dimensiones de su
sección trasversal, y que la deformación debida a su propio peso es
despreciable.
- Que
la sección de la barra no cambia cuando se dobla. Cuando el espesor de
la barra es pequeño comparado con el radio de curvatura, la sección
trasversal cambia muy poco.
En estas condiciones es aplicable la ecuación de
Euler-Bernoulli que relaciona el momento flector M de la fuerza
aplicada y el radio de curvatura ρ de la barra deformada
Donde Y
es el módulo de Young del material e I es el momento de inercia de la
sección trasversal respecto del eje neutro. El radio
de curvatura:
ρ=ds/dφ
El
momento flector M de la fuerza F aplicada en el extremo
libre de la barra respecto del punto P (x, y) es M=F(xf-x)
Derivando
con respecto a s, y teniendo en cuanta que cosφ=dx/ds
Para
determinar φ(s) se resuelve la ecuación
diferencial con las siguientes condiciones iníciales:
Para
obtener una solución de la ecuación diferencial, multiplicamos por dφ/ds la
ecuación diferencial
La
constante de integración la determinamos a partir de las condiciones iníciales
especificadas anteriormente:
La
Longitud L de la barra y las coordenadas x e y de cada
uno de los puntos de la misma se obtienen:
Dada la
fuerza F aplicada en el extremo libre de la barra y conocida la
longitud L de la barra, se resuelve la primera ecuación para calcular
el ángulo φ0, que
forma la recta tangente a la barra en su extremo libre con la parte negativa
del eje horizontal X
Una vez que
se conoce este ángulo φ0, se
calcula la abscisa x dando valores al ángulo φ en el
intervalo (0, φ0)
El cálculo
de la ordenada y es más complicado, ya que para cada valor del ángulo φ hay que
hallar una integral definida en el intervalo (0, φ)
empleando procedimientos numéricos.
Cálculo numérico
Las
ecuaciones anteriores las podemos expresar
Donde α es un
parámetro a dimensional que engloba las características geométricas de la
barra, del material del que está hecha, y de la fuerza aplicada en su extremo
libre
Cálculo de
φ0.
Empezamos
con la primera ecuación que nos determina el ángulo φ0 que forma
la recta tangente a la barra en su extremo libre con la parte negativa del
eje horizontal X, tal como se ve en la figura:
Requiere
dos pasos:
1. Hallar la
integral
2. Calcular
la raíz de la ecuación
f(φ0)=0
La
integral se puede expresar en términos de la suma de dos integrales elípticas
de primera especie, haciendo cambios de variable. El primer cambio es θ=φ+π/2
El segundo
cambio de variable es
Finalmente,
calculamos la raíz de la ecuación
Cálculo de
las coordenadas (x/L, y/L) de cada punto de la barra deformada
El cálculo
de x/L no reviste dificultad alguna. Conocido φ0, se
calcula x/L para cada ángulo φ en el intervalo (0, φ0). La
posición xf del extremo libre es
El cálculo
de y/L es más problemático. Conocido φ0, se
determina la ordenada y/L para cada ángulo φ en el
intervalo (0, φ0)
calculando la integral definida,
por el
procedimiento numérico de Simpson
Cuando φ→φ0 el
denominador de la integral tiende a cero. El ordenador no calcula
correctamente la ordenada yf/L del extremo libre de la
barra cuando φ=φ0. Para
solucionar este inconveniente, empleamos el procedimiento de interpolación
que se muestra en la figura.
- Calculamos
las coordenadas (x/L, y/L) para el ángulo φ=φ0-Δφ, siendo
Δφ un
ángulo pequeño.
- Calculamos
la abscisa xf/L para el ángulo φ0.
La
ordenada yf/L se obtiene resolviendo el triángulo
rectángulo de la figura
Aproximación de pequeñas flexiones
Para
pequeñas flexiones cuando el ángulo φ0 es
pequeño. Sustituimos senφ≈φ y escribimos la ecuación que
calcula φ0.
El
resultado es φ0=α
Las
coordenadas (x, y) de cada punto de la barra se aproximan a
Para el
extremos libre de la barra, cuando φ= φ0=α, xf=L,
lo que implica que en la aproximación de pequeñas flexiones, no hay
desplazamiento horizontal del extremo libre de la barra.
La
ordenada y la podemos aproximar
Integrando
por partes y después de hacer algunas simplificaciones obtenemos la siguiente
expresión
Las
coordenadas x e y, las hemos expresado en función del parámetro
φ,
eliminando el parámetro obtenemos la función y=f(x) que
describe la flexión de la barra cuando se aplica una fuerza F en su
extremo libre.
Para el
extremos libre de la barra, cuando φ= φ0=α, x=L,
Límite de
la aproximación de pequeñas flexiones
En la
figura, se muestra la desviación y/L del extremo libre de la barra en
función del parámetro a dimensional α.
- En
color rojo, los resultados del cálculo, empleando procedimientos
numéricos, descrito en el apartado anterior
- En
color negro, la recta y/L=2α/3,
aproximación de pequeñas flexiones
Podemos
considerar, que la aproximación lineal produce resultados aceptables hasta un
cierto valor límite del parámetro αm o bien,
hasta un cierto valor máximo de la fuerza aplicada Fm en el
extremos libre de la barra
Ejemplo:
Sea una
regla de acero de longitud L=30 cm, sección rectangular a=3.04
cm, y b=0.078 cm. El módulo de Young es Y=2.06·1011
N/m2
El momento
de inercia I vale
Cuando
aplicamos en el extremo libre de la barra una fuerza tal que α=0.25, es
decir
Aplicando
la aproximación de pequeñas flexiones
En la
aproximación de pequeñas flexiones xf≈L, no hay
desviación apreciable en sentido horizontal y la desviación en sentido
vertical yf es proporcional a la fuerza F
aplicada en el extremo libre.
Cuando
aplicamos en el extremo libre de la barra una fuerza tal que α=1.25, es
decir
Aplicando
la aproximación de pequeñas flexiones
En la
aproximación de pequeñas flexiones deja de ser válida ya que hay una
desviación apreciable en sentido horizontal y la desviación en sentido
vertical yf ya no es proporcional al a la fuerza
F aplicada en el extremo libre.
BIBLIOGRAFIA:
·
Feynman, Leighton, Sands. The
Feynman Lectures on Physics V-II. Edt. Fondo Educativo Interamericano,
págs. 38.15-17.
·
Beléndez T., Neipp C., Beléndez A., Flexión de
una barra delgada empotrada en un extremo: Aproximación para pequeñas
pendientes. Revista Brasileira de Ensino de Física. 24 (4) Dezembro 2002,
págs, 399- 407.
·
Beléndez T., Neipp C., Beléndez A., Large and
small defections of a cantilever beam. Eur. J. Phys. 23 (2002) pp.
371-379
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